Золотий переріз

Людина розрізняє навколишні його предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого перетину - вищий прояв структурної і функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніці і природі.

Про золотий перетин знали ще в стародавньому Єгипті і Вавілоні, в Індії та Китаї. Великий Піфагор створив таємну школу, де вивчалася містична суть «золотого перетину». Евклід застосував його, створюючи свою геометрію, а Фідій - свої безсмертні скульптури. Платон розповідав, що Всесвіт улаштований відповідно до «золотого перерізу». А Аристотель знайшов відповідність «золотого перетину» етичному закону.Вищу гармонію «золотого перетину» проповідували Леонардо да Вінчі і Мікеланджело, адже краса і «золотий перетин» - це одне і те ж.  Нескінченний ряд після коми - 1,6180339887 ... Дивна, загадкова, незрозуміла річ: ця божественна пропорція містичним чином супроводжує всьому живому. Нежива природа не знає, що таке «золотий перетин». Але ви неодмінно побачите цю пропорцію і у вигинах морських раковин, і у формі квітів, і в образі жуків, і в красивому людському тілі. Все живе і все красиве - все підпорядковується божественному закону, ім'я якому - «золотий перетин».

Золотий перетин (золота пропорція) - пропорційне ділення відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як сама велика частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього a: b = b: c або с: b = b: а.

 Геометричне зображення золотої пропорції

В геометрії існують різні способи побудови золотий пропорції, причому  для побудови взяти найпростіші геометричні фігури - квадрат або прямокутний трикутник із співвідношенням катетів 1:2.Якщо з середини сторони квадрата провести коло радіусом, рівним діагоналі полуквадрата, то на її перетині з продовженої стороною квадрата отримаємо відрізок, який менше боку квадрата відповідно із золотоюпропорцією. 

Золотий прямокутник має багатьма незвичайними властивостями. Відрізавши від нього квадрат, сторона якого дорівнює меншій стороні прямокутника, ми знову отримаємо золотий прямокутник менших розмірів.Продовжуючи відрізати квадрати, ми будемо отримувати все менші і менші золоті прямокутники. 

 Золотий прямокутник

Тим самим буде побудовано приклад досконалого квадріруємого прямокутника нескінченного порядку. Точки, що ділять боку прямокутників у середньому і крайньому відношенні, лежать на логарифмічній спіралі, що закручується всередину.

Полюс спіралі лежить на перетині пунктирних діагоналей. Зрозуміло, «обертові квадрати», як їх прийнято називати, можуть не тільки закручувати, але і розкручувати спіраль. Для цього лише потрібно будувати не зменшуються, а все збільшуються квадрати. Логарифмічна спіраль - єдиний тип спіралі, не змінює своєї форми при збільшенні розмірів. Якщо логарифмічною спіралі з центру Про провести пряму, то які утворюються відрізки ОА, ОВ, ОС, ОD і т. д., отримані при перетині прямої з витками спіралі, утворюють  геометричну прогресію, тобто ОА / ОВ = ОВ / ОС = ОС / OD = ... = m, де m - постійне число.

Відрізки радіуса, укладеного між послідовними витками спіралі, також утворюють прогресію зі ставленням АВ / ВС = ВС / СD = ... = n. Окремим випадком спіралі є така, що  відповідає значенням n, рівному Ф, тобто золотий пропорції. Така спіраль називається «кривою гармонійного зростання».

Числа Фобіначчі

У математиці добре відома послідовність чисел 1,1,2,3,5,8,13,21 ,..., звана числами Фібоначчі (ряд Фібоначчі). Особливість  послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого розподілу. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618: 0,382 - дає безперервний розподіл відрізка прямій у золотої пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього.

Фібоначчі так само займався рішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якого найменшого кількості гир можна зважити товар? Фібоначчі довів, що оптимальною є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16 ... Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і "двійковий" ряд гир 1, 2, 4, 8, 16 ... на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови досить схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сума попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1 , 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 ....

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого розподілу в рослинному й у тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичному вираженню закону золотого розподілу.

Присутність золотої пропорції і чисел Фібоначчі в живій природі дозволяють говорити про деякому єдиному  механізмі їх виникнення. Числа Фібоначчі і золотий перетин є математичним описом деякого формоутворюваючого процесу. На мікрорівні (целочисленном) кількісна характеристика цього процесу проявляється як числа Фібоначчі, а на макрорівні (статистичному) як підставу золотої пропорції - число α. Якщо  такий  формотворний процес є законом живої природи, то з його допомогою можна пояснити наявність золотої пропорції в співвідношенні частин тіла людини і тварин.

Характерною рисою будови рослин та їх розвитку є спіральність. Ще Гете, який був не тільки великим поетом, а й натуралістом, вважав спіральність одним з  характерних ознак всіх організмів, проявом самої потаємної сутності життя. Спірально закручуються вусики рослин, по спіралі відбувається  зростання  тканини в стовбурах дерев, по спіралі розташовані  насіння  в соняшнику, спіральні руху спостерігаються при зростанні коренів і пагонів.

Існує кілька способів листорасположения. Виявилося, що кожна рослина характеризується своїм листорасположением. Так, у липи, в'яза, бука, злаків листорозміщення описується формулою 1 / 2, у дуба і вишні - 2 / 5, у малини, груші, тополі, барбарису - 3 / 8, у мигдалю, обліпихи - 5 / 13 і т. д. Неважко бачити, що у формулах листорасположения зустрічаються числа Фібоначчі, розташовані через одне.

Подивимося на соснову шишку. Лусочки на її  поверхні розташовані строго закономірно - з двох спіралях, які перетинаються приблизно під прямим кутом. Число таких спіралей у соснових шишок дорівнює 8 і 13 або 13 і 21. Такі ж спіралі видно в поперечних розрізах нирок; тут числа спіралей відносяться як числа 3 / 5, 5 / 8, 8 / 13. У кошиках соняшнику насіння також розташовані по двом спіралях, їх кількість становить зазвичай 34 і 55, 55 і 89. Тут знову ми бачимо закономірне поєднання чисел Фібоначчі, розташованих поруч: 2 / 3,  3 / 5, 5 / 8, 13/21 і т.д. Їхнє  відношення наближається до числа 0,61803 ...

Принципи формоутворення в природі

Закономірності "золотий» симетрії проявляються в енергетичних  переходах елементарних часток, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних і космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є в будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також проявляються в біоритми і функціонуванні головного мозку і зорового сприйняття.

Все, що здобувало якусь форму, утворювалося, росло, прагнуло зайняти місце в просторі і зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення в основному у двох варіантах - ріст нагору або розстеляння по поверхні землі й закручування по спіралі.

Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрові раковина має спіраль довжиною 35 см. Спіралі дуже поширені в природі.Подання про золотий переріз буде неповним, якщо не сказати про спіралі.

Форма спірально завитий раковини привернула увагу  Архімеда. Він вивчав її і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслені по цьому рівнянню, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.

Спільна  робота ботаніків і  математиків  пролила  світло на ці дивні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листів на гілці, насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, проявляє себе закон золотого перетину. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується ураган. Перелякана череда північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль «кривий життя».

Серед пришляхових трав росте нічим не примітне рослина - цикорій. Придивімося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок.

 Цикорій

Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротше першого, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру й знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, то другий рівний 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотої пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його росту поступово зменшувалися в пропорції золотого перерізу.

 Ящірка живородна

У ящірці  з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так ставиться до довжини іншого тіла, як 62 до 38.

І в рослинному, і у тваринному світі наполегливо пробивається формотворна тенденція природи - симетрія щодо напрямку росту й руху.  Тут  золотий перетин проявляється в пропорціях частин перпендикулярно до напрямку росту.

Природа здійснила розподіл на симетричні частини й золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.

Художники, вчені, модельєри, дизайнери роблять свої розрахунки, креслення або начерки, виходячи зі співвідношення золотого перерізу. Вони використовують мірки з тіла людини, створеної також за принципом золотої перетину. Леонардо Да Вінчі і Ле Корбюзье перед тим як створювати свої шедеври брали параметри людського тіла, створеного за законом Золотий пропорції. Пропорції різних частин нашого тіла становлять число, дуже близьке до золотого перетину. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність або тіло людини вважається ідеально складеними. Принцип розрахунку золотого перерізу на тілі людини можна зобразити у вигляді схеми представленої нижче.

Золотий перетин присутній в будові всіх кристалів, але більшість кристалів  мікроскопічно малі, так що ми не можемо розглядати їх неозброєним оком. Однак сніжинки, також представляють собою водні кристали, цілком доступні нашому погляду. Всі вишуканої краси фігури, які утворюють сніжинки, всі осі, кола та геометричні фігури в сніжинки також завжди без винятків побудовані за досконалої чіткою формулою золотого перерізу.

У Всесвіті всі відомі людству  галактики і всі тіла в них існують у формі спіралі, відповідаючи формулі золотого перерізу. Принципу Золотого перерізу підпорядковані і періоди обертання планет Сонячної системи.

Будова усіх що зустрічаються в природі живих організмів і неживих об'єктів, що не мають ніякого зв'язку і подібності між собою, сплановано за певною  математичною  формулою. Це є найяскравішим доказом їх усвідомленої створеного згідно якомусь проекту, задуму. Формула золотого перерізу і золоті пропорції дуже добре відомі всім людям мистецтва, бо це головні правила естетики. Будь-який твір мистецтва, спроектоване в точній відповідності з пропорціями золотого перерізу, являє собою довершену естетичну форму.

За цим законом  Великого Божественного Творіння створені галактики, створені рослини і мікроорганізми, тіло людини, кристали, живі істоти, молекула ДНК і закони фізики, тоді як вчені і люди  мистецтва лише вивчають цей закон і прагнуть наслідувати йому, втілювати цей закон у своїх творах.

Висновок

Ідея про гармонійність світу і систем, пов'язана з відносинами протилежностей всередині об'єкта, не нова. Вона сходить до філософії  Стародавньої Греції.  У наші дні ідея гармонії систем набуває все більшого визнання.  Прийнято вважати, що об'єкти, які містять в собі «золотий перетин», сприймаються людьми як найбільш гармонійні.

Напевно, важко знайти надійну міру для об'єктивної оцінки самої краси, і однією логікою тут не обійдешся. Проте тут допоможе досвід тих, для кого пошук краси був сенсом життя, хто зробив це своєю професією. Це, перш за все, люди мистецтва: художники, архітектори, скульптори, музиканти, письменники. Але це і люди точних наук, - перш за все, математики.

Довіряючи погляду більше, ніж іншим органам почуттів, людина в першу чергу навчається розрізняти навколишні його предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого перетину - вищий прояв структурної і функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніці і природі. Цю думку поділяли і поділяють багато видатних сучасні вчені, доводячи в своїх дослідженнях, що справжня краса завжди функціональна.